本文共 1002 字,大约阅读时间需要 3 分钟。
后缀树的构造与Ukkonen算法
1. 后缀树的定义
后缀树是一种强大的数据结构,广泛应用于文本处理、模式匹配等领域。以下是后缀树的定义:
后缀树有n个叶节点(n为字符串s的长度)。 每个内部节点至少有两个儿子。 从同一节点引出的任意两条边上的字符串不会以相同字符开始。 从根节点到任意叶节点的路径上的字符连起来是一个s的后缀。 通过在字符串s中添加一个从未出现过的哨兵字符,可以构造出符合后缀树定义的结构。删除所有度数为1的节点后,得到的树即为后缀树。
2. Ukkonen算法
Ukkonen算法是一种在线构造后缀树的高效算法,时间复杂度为O(|s|)。该算法通过引入后缀链(suffix link)和维护当前最长隐式后缀(remaining)来加速插入过程。
算法步骤:
初始化后缀树,只有根节点(id=1),len=0,now=1,n=0。 遍历字符串s的每个字符: - 增加n和len。
- 如果当前节点的边不存在,创建新节点,并将last的后缀链接指向该节点。
- 否则,检查当前边的第len个字符是否与新字符相同:
- 如果相同,沿着后缀链跳转,更新last。
- 如果不同,创建新节点,分裂边,并更新后缀链接。
- 如果now=1,跳转到后缀链接;否则,减少len。
直到处理完所有字符。 代码分析:
newnode函数用于创建新节点,设置父节点和后缀链接。 extend函数负责插入新字符: - 检查当前节点是否有对应的边。
- 如果不存在,创建新节点并更新后缀链接。
- 如果存在,检查字符是否匹配:
- 匹配:沿着后缀链跳转。
- 不匹配:分裂边,创建新节点。
len和now的维护确保正确处理隐式后缀。
优化技巧:
- 当字符串为非隐式时,设置len为INF,避免重复处理。
- 后缀链接的维护确保树的正确性,减少重复计算。
3. 算法分析
- 变量声明:
link:后缀链接数组。 le:当前节点父边的字符串长度。 start:记录父边的第一个字符位置。 s:当前插入的字符。 ch:字符数组,用于存储当前节点的边信息。
- 关键步骤:
- 插入新字符时,假设len加1,检查边是否存在。
- 根据是否存在边,决定是否创建新节点。
- 维护len和now,确保后缀树的正确性。
结论:Ukkonen算法通过后缀链加速,避免了暴力枚举所有后缀,实现了线性时间的构造过程。该算法不仅高效,还通过巧妙的维护机制确保了后缀树的正确性,是构造后缀树的首选算法。
转载地址:http://kidkz.baihongyu.com/