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后缀树的构造与Ukkonen算法
1. 后缀树的定义
后缀树是一种强大的数据结构，广泛应用于文本处理、模式匹配等领域。以下是后缀树的定义：
后缀树有n个叶节点（n为字符串s的长度）。 每个内部节点至少有两个儿子。 从同一节点引出的任意两条边上的字符串不会以相同字符开始。 从根节点到任意叶节点的路径上的字符连起来是一个s的后缀。 通过在字符串s中添加一个从未出现过的哨兵字符，可以构造出符合后缀树定义的结构。删除所有度数为1的节点后，得到的树即为后缀树。
2. Ukkonen算法
Ukkonen算法是一种在线构造后缀树的高效算法，时间复杂度为O(|s|)。该算法通过引入后缀链（suffix link）和维护当前最长隐式后缀（remaining）来加速插入过程。
算法步骤：
初始化后缀树，只有根节点（id=1），len=0，now=1，n=0。 遍历字符串s的每个字符： - 增加n和len。
- 如果当前节点的边不存在，创建新节点，并将last的后缀链接指向该节点。
- 否则，检查当前边的第len个字符是否与新字符相同：
- 如果相同，沿着后缀链跳转，更新last。
- 如果不同，创建新节点，分裂边，并更新后缀链接。
- 如果now=1，跳转到后缀链接；否则，减少len。
直到处理完所有字符。 代码分析：
newnode函数用于创建新节点，设置父节点和后缀链接。extend函数负责插入新字符： - 检查当前节点是否有对应的边。
- 如果不存在，创建新节点并更新后缀链接。
- 如果存在，检查字符是否匹配：
- 匹配：沿着后缀链跳转。
- 不匹配：分裂边，创建新节点。
len和now的维护确保正确处理隐式后缀。
优化技巧：
- 当字符串为非隐式时，设置len为INF，避免重复处理。
- 后缀链接的维护确保树的正确性，减少重复计算。
3. 算法分析
- 变量声明：
link：后缀链接数组。le：当前节点父边的字符串长度。start：记录父边的第一个字符位置。s：当前插入的字符。ch：字符数组，用于存储当前节点的边信息。
- 关键步骤：
- 插入新字符时，假设len加1，检查边是否存在。
- 根据是否存在边，决定是否创建新节点。
- 维护len和now，确保后缀树的正确性。
结论：Ukkonen算法通过后缀链加速，避免了暴力枚举所有后缀，实现了线性时间的构造过程。该算法不仅高效，还通过巧妙的维护机制确保了后缀树的正确性，是构造后缀树的首选算法。
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